فعالیت الف توجیه تابع یک به یک از روی نمودار حسابان یازدهم
تابع $\begin{cases} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ f(x) = ۲x + ۵ \end{cases}$ را در نظر می‌گیریم. الف) به کمک نمودار $f$ توضیح دهید چرا $f$ یک به یک است.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت الف صفحه ۵۷ حسابان یازدهم
سلام! تابع $\mathbf{f(x) = ۲x + ۵}$ یک **تابع خطی** است. برای توضیح یک به یک بودن از طریق نمودار، از **آزمون خط افقی** استفاده می‌کنیم.
### توجیه یک به یک بودن از روی نمودار
1. **ماهیت نمودار**: نمودار $f(x) = ۲x + ۵$ یک **خط راست** است که دارای **شیب ثابت و مثبت** ($athbf{m=۲}$) است. یعنی تابع در تمام دامنه خود **صعودی اکید** است.
2. **آزمون خط افقی**: اگر هر **خط افقی** دلخواه (مانند $y=c$) را رسم کنیم، این خط، نمودار را در **دقیقاً یک نقطه** قطع می‌کند.
### نتیجه
قطع کردن نمودار در یک نقطه، به این معناست که: **هیچ دو ورودی متفاوتی ($x_۱ \ne x_۲$) خروجی یکسانی ($f(x_۱) = f(x_۲)$) تولید نمی‌کنند.**
**دلیل**: چون هیچ خروجی تکراری وجود ندارد، تابع $\mathbf{f}$ یک به یک است.
فعالیت ب توضیح نمودار تابع و وارون آن حسابان یازدهم
ب) نمودار روبه‌رو را توضیح دهید:
$(۳, ۱۱) \in f$ و $(۱۱, ۳) \in f^{-۱}$
به عبارت دیگر $f(۳) = ۱۱$ و $f^{-۱}(۱۱) = ۳$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ب صفحه ۵۷ حسابان یازدهم
این فعالیت رابطه بین یک **تابع یک به یک** و **وارون** آن را با استفاده از مفهوم **ورودی و خروجی ماشین‌های تابع** توضیح می‌دهد.
### توضیح نمودار و رابطه وارون
**۱. عملکرد تابع اصلی ($f$)**:
* تابع $f$ مانند یک **ماشین** است که عدد **۳** را به عنوان ورودی می‌گیرد.
* ضابطه $f(x) = ۲x + ۵$ اعمال می‌شود: $f(۳) = (۲ \times ۳) + ۵ = ۱۱$.
* خروجی تابع $f$، عدد **۱۱** است.
* این رابطه در قالب زوج مرتب به صورت **$(۳, ۱۱) \in f$** نوشته می‌شود.
**۲. عملکرد تابع وارون ($f^{-۱}$)**:
* تابع وارون $f^{-۱}$ مانند یک **ماشین معکوس** است که عمل تابع $f$ را خنثی می‌کند.
* ورودی $f^{-۱}$، خروجی $f$ (عدد **۱۱**) است.
* ضابطه وارون ($\frac{۱۱-۵}{۲} = ۳$) اعمال می‌شود.
* خروجی $f^{-۱}$، ورودی $f$ (عدد **۳**) است.
* این رابطه در قالب زوج مرتب به صورت **$(۱۱, ۳) \in f^{-۱}$** نوشته می‌شود.
**نتیجه**:
تابع $athbf{f}$ ورودی $athbf{x}$ را به خروجی $athbf{y}$ تبدیل می‌کند ($y=f(x)$)، و تابع وارون $athbf{f^{-۱}}$ دقیقاً برعکس عمل کرده و ورودی $athbf{y}$ را به خروجی $athbf{x}$ تبدیل می‌کند ($x=f^{-۱}(y)$). این نشان می‌دهد که **هر زوج مرتب $(a, b)$ در $f$ متناظر با زوج مرتب $(b, a)$ در $f^{-۱}$ است.**
فعالیت پ نمودار ماشینی تابع و وارون آن حسابان یازدهم
پ) در حالت کلی برای هر عنصر $x \in D_f$، نمودار مقابل را مانند ب کامل کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت پ صفحه ۵۷ حسابان یازدهم
این فعالیت به دنبال استخراج **ضابطه کلی** تابع وارون ($f^{-۱}$) بر اساس ضابطه تابع اصلی ($f$) در حالت کلی است.
### گام اول: تعریف عملگر تابع ($f$)
اگر $x$ عضو دامنه $D_f$ باشد، تابع $f$ آن را به $y$ (عضو برد $R_f$) تبدیل می‌کند:
$$\mathbf{f(x) = y}$$
### گام دوم: تعریف عملگر تابع وارون ($f^{-۱}$)
تابع وارون $f^{-۱}$ باید $y$ را به $x$ تبدیل کند:
$$\mathbf{x = f^{-۱}(y)}$$
### گام سوم: محاسبه ضابطه $f^{-۱}$ (برای تابع $f(x) = ۲x + ۵$)
برای پیدا کردن ضابطه ماشین $f^{-۱}$، باید معادله $y = f(x)$ را بر حسب $x$ حل کنیم:
$$y = ۲x + ۵$$
$$y - ۵ = ۲x$$
$$\mathbf{x = \frac{y - ۵}{۲}}$$
### تکمیل نمودار
1. **ورودی ماشین $f$**: $x$
2. **خروجی ماشین $f$**: $f(x) = y$ (در این مثال $۲x+۵$)
3. **ورودی ماشین $f^{-۱}$**: $y$
4. **خروجی ماشین $f^{-۱}$**: $x = f^{-۱}(y)$ (در این مثال $\mathbf{\frac{y - ۵}{۲}}$)
**نتیجه**: ضابطه تابع وارون $f^{-۱}$ برای این مثال خاص برابر است با:
$$\mathbf{f^{-۱}(y) = \frac{y - ۵}{۲}}$$
**نکته**: در نهایت، معمولاً متغیر خروجی تابع وارون را با $x$ نشان می‌دهیم: $\mathbf{f^{-۱}(x) = \frac{x - ۵}{۲}}$.
